اين قضيه بدين معنى است كه در شكل 3 ، مستطيل AEDG به اضافهء مربع FGIJ مساوى است با مربع CBIK . چنان كه در اين شكل فرض كنيم كه AB - a و DB - x ، آنگاه اين قضيه به معالهء ax - x 2 - b 2 منجر مىشود . امّا چنين تعبيرى مستلزم اين اعتقاد است كه هر طولى را مىتوان با عددى نمايش داد ، درحالىكه در سنّت يونانى هرچند هر عددى را با طولى نمايش مىدادند ، معتقد نبودند كه در برابر هر طولى هم عددى وجود داشته باشد . همچنين است ترسيماتى كه در قضاياى بيست و هشتم و بيست و نهم از مقالهء ششم كتاب اصول خواسته شده و معادل با حل يك معادلهء درجه دوم است . شكل 3 به همين دليل ، چه در اصول اقليدس و چه در مخروطات آپولونيوس ، مساحت مستطيل هيچ‌گاه به‌صورت حاصل‌ضرب اضلاع آن نشان داده نمىشود ، بلكه مساحت هر شكل با مساحتى ديگر سنجيده مىشود . ازاين‌رو ، هرچند آپولونيوس ، در مخروطات ، خواص مقاطع مخروطى را از طريق مفهومى به نام نشانه بررسى مىكند كه به مفهوم امروزى معادلهء مقطع مخروطى بسيار نزديك است ، با اين حال ، وى همواره نشان را به‌صورت برابرى دو سطح بيان مىكند . بنابراين ، تعبير جبرى قضاياى فوق توجيهى ندارد . همچنين ، هرچند