و برهان آن چنين است ؛
ABGD
دايرهء نصف النّهار ،
BeD
خطّ نصف النّهار شهر
Z
، و
AEG
خطّ نصف النّهار شهر
H
است [ شكل 8 ] ؛ فرض كنيم نقطهء
K
محلّ عبور ستاره بر دايرهء نصف النّهار در جنوب
H
و
Z
هردو ، و
O
نقطهء تقاطع معدّل النّهار با دايرهء
ABGD
باشد . اگر عرض شهر
Z
معلوم باشد ، تفاوت ميان دو ارتفاع ستاره يعنى
KB
و
KA
را كه
AB
و برابر با
ZH
است ، بر
ZO
كه عرض شهر
Z
است مىافزاييم و حاصل آن
OH
عرض شهر
H
خواهد بود ، چه ارتفاع شهر
Z
[ شكل 8 ] يعنى
KB
از ارتفاع شهر
H
يعنى
KA
بيشتر است . حال اگر فرض كنيم كه
H
شهرى باشد كه عرض آن شناخته است ، در اين صورت ارتفاع ستاره يعنى
KA
در اين شهر از ارتفاع
KB
در شهر
Z
كوچكتر است ، و بنابراين چون تفاوت
HZ
را از
OH
كه عرض شهر
H
است بكاهيم ، آنچه باقى مىماند ، يعنى
OZ
عرض شهر
Z
خواهد بود .
و بر همين قياس است حالتى كه در آن ستاره بر سمت الرّأس شهر
Z
بگذرد كه اگر
OZ
معلوم باشد آن را با تفاوت دو ارتفاع جمع مىكنيم تا
OH
بهدست آيد ، بدان جهت كه ارتفاع در شهر
Z
بيشتر است ؛ و اگر
OH
معلوم باشد ، تفاوت را از آن مىكاهيم كه
OZ