الباب الثاني في تصحيح البلدان بما بينهما من المسافات
إذا كان بلدان معلومي العرض والمسافة التي بينهما بأجزاء الدور وأردنا معرفة ما بينهما في الطّول ضربنا جيب العرض الأقل في جيب المسافة وقسّمنا المجتمع على جيب العرض الأكبر فيخرج المحفوظ الأول ، ونأخذ فضل ما بينه وبين نصف جيب ضعف المسافة ونحفظه ثانيا ثم نلقي جيب تمام ضعف المسافة من الجيب كله وننصف ما يبقى ونضرب كل واحد من هذا النصف والمحفوظ الثاني في مثله ونأخذ جذر مجموع المبلغين ، فإن قسمنا عليه مضروب جيب المسافة في مثلها خرج الجيب الأول ، وإن قسمنا عليه مضروب جيب المسافة في المحفوظ الأول خرج الجيب الثاني ، ثم نقسم جيب العرض الأكبر على الجيب الأول ونقوّس ما يخرج ونلقيها من تسعين فيكون جيب ما يبقى هو الأصل .
ونقسّم على جيب تمام العرض الأكثر مضروب الجيب الأول في الأصل فنخرج جيب القوس الكبرى ، ونقسّم أيضا على جيب تمام العرض الأقل مضروب الجيب الثّاني في الأصل فيخرج جيب القوس الصغرى وفضل ما بين هاتين القوسين هو فضل ما بين طولي البلدين الذي يزاد على طول غربيهما أو ينقص من الشرقي فيحصل طول الآخر ، فإن تساوى العرضان قسّمنا جيب المسافة على جيب تمام العرض فيخرج جيب ما بين الطولين ، وإن ساوت المسافة ما بين العرضين لم يكن بين البلدين اختلاف في الطول .
والبرهان على ذلك فليكن : ه ع ، إمّا خط الاستواء على الأرض وإمّا معدل النهار على السماء وقطبه : ط ، و : ط ح ، فلك نصف نهار بلد : ا ، الأكثر عرضا و : ط د ، فلك نصف نهار بلد : ب ، الأقل عرضا ، فيكون : ج د ، أزمان الطول بينهما و : ا ب ، المسافة معلومة بأجزاء الدائرة العظمى ، ونتمم دائرتها فتلقى معدل النهار على : ه ، ونقرر منها قوس : ا ح ، مساوية لمسافة : ا ب ، و : ه ز ، مساوية ل : ه ب ، ونصل : ب ز ، ل ح ، ح د ، ونخرج فيما بين منتصفي : ب ح ، ب ز ،