ذلك ربعان إلا عرض البلد فلذلك إذا نقص هذا المجموع من نصف الدائرة بقي العرض .
معرفة ما في الازدواج الثالث
مسألة : إذا أعطينا ارتفاع نصف النهار ونصف قوس النهار أعني فضل المطالع ثم كان أحد المطلوبين معلوما أريد الآخر أما إذا علم العرض فإنه يستغني به عن تعديل النهار وذلك أنا نقسم جيب ارتفاع نصف النهار على جيب تمام العرض ونحفظ الخارج من القسمة ثم نضربه في جيب العرض فما اجتمع نأخذ فضل ما بينه وبين تمام ارتفاع نصف النهار فيبقى جيب سعة المشرق فنضربه في جيب ارتفاع نصف النهار ونقسم ما اجتمع على المحفوظ فنخرج جيب الميل .
مسألة : وأما إذا كان الميل معلوما وأريد العرض فإنا نضرب جيب تمام الميل في جيب تعديل النهار ونزيد ما اجتمع على جيب تمام الميل إن كان شماليا وننقصه منه إن كان جنوبيا فيجتمع سهم النهار المحول ونقسم عليه جيب ارتفاع نصف النهار فيخرج جيب تمام العرض .
مسألة : وأما إذا كان المطلوبان معا مجهولين فإنا نريد جيب تعديل النهار على الجيب كله وننقصه منه أيضا ونضرب الزائد إن كان تعديل النهار مما نقص في جيب ارتفاع النهار ونقسم المبلغ على الناقص وإن كان تعديل النهار مما يراد نضرب الناقص في جيب ارتفاع نصف النهار ونقسم المبلغ على الزائد وما خرج من القسمة نقوسه ونزيد عليها ارتفاع نصف النهار وننقص الجملة من مائة وثمانين جزءا وننصف ما يبقى فيكون عرض البلد .
والبرهان على ما في هذا الازدواج نسبة : ط ك ، في الشكل المتقدم إلى : ط ز ، المحفوظ كنسبة جيب زاوية : ز ، إلى جيب زاوية ط ، فإذا كان العرض معلوما وعرف : ط ز ، المحفوظ ومن : ك ه ، تمام ارتفاع نصف النهار : ه ز ، جيب سعة المشرق صار : ه ح جيب الميل معلوما فإن كان هو المفروض كان : ط ح ، جيب تمامه ونسبة ز ح ، إليه كنسبة : ز ح ، جيب تعديل النهار إلى : ط ح ، الجيب كله ف : ز ح ، معلوم ومجموعه إلى جيب تمام الميل هو سهم النهار المحول أعني : ز ط ، ونسبته إلى : ط ك ، كنسبة جيب زاوية : ك ، القائمة إلى جيب زاوية : ز ، تمام العرض وهو معلوم .
ثم ليكن : ا ب ، ج د ، فلك نصف النهار وقطر : ب ه د ، فيه في سطح الأفق و : ا ه ج ، في سطح معدل النهار و : ز ح ك ، في سطح المدار ونخرج