و مانند دو برابر شدن ( مجذور ) واسطه ( عدد وسط ) در صورتى كه عدهء آن اعداد فرد باشند چنان كه فردها پياپى و زوجها پياپى هم باشند . و مانند اينكه هر گاه اعداد به نسبت واحدى پشت سر هم واقع شوند بدين سان كه عدد اول آنها نصف دوم و عدد دوم نصف سوم . . . تا آخر يا اول آنها ثلث دوم و دوم ثلث سوم . . .

--> [ ( ) ] آخرند برابر است و همچنين اين مجموع با دو برابر جملهء وسطى يعنى 16 مساوى است . روشن است كه رشتهء اعداد زوج با رشتهء اعداد فرد تصاعد عددى تشكيل مىدهند چه در اين دو مثال اختلاف دو عدد زوج متوالى يا دو عدد فرد متوالى همواره برابر دو واحد مىباشد پس خواص مذكور براى رشته‌هاى تصاعدهاى عددى در آنها صادق است . مثال دوم برشته‌اى متكى است كه امروز بتصاعد هندسى معروف است و آن چنان است كه نسبت هر دو جملهء متوالى در اين رشتهء عددى ثابت است مانند رشتهء : 000 ، 405 ، 135 ، 45 ، 15 ، 5 كه در آن نسبت هر جمله بجملهء ما قبل برابر سه واحد است در چنين رشته‌اى كه مثلا به جملهء پنجم يعنى عدد 405 محدود شده است حاصل ضرب هر دو جمله متساوى البعد از طرفين با حاصل ضرب طرفين برابر است يعنى حاصل ضرب 135 X 15 با حاصل ضرب 405 X 5 متساوى است و اين مقدار با مجذور ( مربع ) جملهء وسطى يعنى 2 . 45 برابر است . اعداد زوج الزوج متوالى كه در متن ذكر شده است از اين قبيل است چه تمام اين اعداد از قواى متوالى عدد دو پيدا مىشوند . در قديم بين يونانيان معمول بود كه اعداد را با نقاط نمايش دهند ( توجه شود كه آن زمان عدد نويسى كشف و وضع نشده بود ) و بر حسب شكلى كه اين نقاط اتخاذ ميكردند به اعداد نام ميدادند مثلا اگر نقاطى را به شكل زير : 0 00 000 0000 به پيوست هم قرار ميدادند چنين عددى را ( يعنى مجموع نقاط شكل را ) عدد مثلث ميناميدند ( در اين نوع تصوير اعداد ، فقط تعداد نقاط اضلاع شكل هندسى مورد نظر است نه وضع استقرار اضلاع مثلا همان عدد مثلث مذكور را ميتوان چنين نيز نمايش داد : 0 00 000 0000 بعضى از نكاتى كه در متن اشاره شده است به خواص چنين اعدادى منجر مىشود مثلا اگر اعداد مثلث متوالى را در رشته‌اى قرار دهيم بدين صورت : 0000 ، 21 ، 15 ، 10 ، 6 ، 3 ، 1 اولا مشاهده مىشود كه اختلاف هر دو عدد مثلث متوالى با رتبهء عدد بزرگتر برابر است يعنى