علّت استحكام و اتقان علوم رياضى و قاطعيّت آنها همين است كه استدلالات آن منحصرا برهانى است و شعر و خطابه و سفسطه و جدل را در آن راه نيست . زيرا رياضى از لحاظ مادّه داراى مبادى بسيار متين ( تعاريف و علوم متعارفه ) است و از لحاظ صورت هم ضروب منتج شكل اوّل يا شكل دوم را به كار مىبرد . و اكثر اوقات صورت قياسى آن ضرب اوّل از شكل اوّل است كه اشرف ضروب از اشرف اشكال است . پس علوم حقيقى كه تنها در پى دست يافتن به حقيقت صرف هستند جز به كار گرفتن برهان راهى ندارند . زيرا در بين صناعات پنجگانه تنها برهان است كه ما را به حقيقت رهنمون مىشود و مستلزم يقين حقيقى است . در برهان گاه آدمى خود به تنهائى مىخواهد به حقيقتى دست يابد و اعمال فكرى و ذهنى لازم را به كار مىبندد ، و در واقع با خود نجوى مىكند . و گاه براى اين است كه به ديگرى تعليم دهد و استدلال برهانى خود را در قالب قضاياى ملفوظ به ديگرى منتقل سازد و در همان راهى كه خود مىرود ، ديگرى را هم همراه خود ببرد . در تعريف برهان گفته شد كه « برهان قياسى است كه . . . » براى اينكه قياس نسبت به اقسام پنجگانهء صناعات بمنزلهء صورت و قالب است و بنابراين هربرهانى مسلّما در قالب قياس است . امّا چنين نيست كه هرچه در قالب قياس باشد ، برهان باشد . پس قياس اعمّ است و هريك از صناعات خمس اخصّ . و به همين‌جهت در ابتداى تعريف هريك از صناعات ، قياس اخذ مىشود . و چون ترتيب طبيعى در تعلّم مقتضى آن است كه اعمّ بر اخصّ مقدم باشد ( زيرا اعمّ به عقل نزديكتر است ، چنان كه اخصّ به حسّ نزديكتر است ) ، بحث قياس بايد مقدّم بر بحث برهان باشد . و تقديم آنچه پيش از قياس آموخته مىشود ، از جهت تقدّم بالطّبع اجزاء است بر كلّ . برهان دو قسم است : 1 - برهان إنّ يا برهان إنّى . 2 - برهان لمّ يا برهان لمّى . برهان إنّى آن است كه در آن از وجود معلول به علّت استدلال شود . يعنى حدّ اوسط آن موجب نسبت اكبر به اصغر در ذهن شود . مانند اينكه از علايم بيمارى به نوع بيمارى پى ببرند ، يا از بالا رفتن ستون جيوه در گرماسنج ( كه معلول حرارت است ) به افزايش درجهء حرارت آگاهى يابند . برهان إنّ تنها علّت اجتماع دو طرف نتيجه ( اصغر و اكبر ) را در ذهن و تصديق بدان را بيان مىكند و بوسيلهء آن معلوم مىشود كه