أعداد زوج الزوج - لما كانت أعداد زوج الزوج منتظمة على نسبة متّصلة ، وجب أن يكون للمربّعات والمكعّبات منها نظام في أن المربّع يكون ثلثه مربّعا والمكعّب رابعه مكعّب وتستمرّ كذلك . ومن خواصها أن الأعداد التامة تنشأ منها . ( شحس ، 28 ، 1 ) أعداد متباينة - ( الأعداد ) المتباينة هي التي لا يعدّها غير إلّا الواحد . ( شأه ، 212 ، 3 ) أعداد متحابة - أما الأعداد المتحابّة فهي الأعداد التي يتركّب كل واحد من أجزاء صاحبه كما يتركّب صاحبه من أجزائه ، مثل مائتين وعشرين مع مائتين وأربعة وثمانين ، فإن للمائتين والأربعة والثمانين من الأجزاء النصف وهو 142 ، والربع وهو 71 ، وله جزء من واحد وسبعين وهو 4 ، وله جزء من مائة واثني وأربعين وهو 2 ، وله جزء من مائتين وأربعة وثمانين وهو 1 . ( شحس ، 28 ، 4 ) أعداد متناسبة - الأعداد المتناسبة هي التي في الأول من أضعاف الثاني ، أو جزؤه أو أجزاؤه ما في الثالث من الرابع . ( شأه ، 212 ، 14 ) أعداد متوالية - نبدأ لك بخواص الأعداد المتوالية تواليها الطبيعي ، فنقول ( ابن سينا ) إن مراتبها لا تخلو : إما أن تكون فردا وإما أن تكون زوجا ، فإن كان فردا وجد لها واسطة لا محالة ، وهذه الواسطة تكون دائما نصف الحاشيتين مجموعتين . وأعني بالحاشيتين عددين أو عددا ووحدة بعدهما في الترتيب بعد الواسطة وسواء أحدهما من جانب النقصان والأخرى من جانب الزيادة ؛ مثل التسعة والواحد فهما حاشيتا الخمسة والخمسة نصف مجموعهما ، وهي أيضا نصف الثمانية والاثنين وإنهما أيضا حاشيتان ، ونصف السبعة والثلاثة والستة والأربعة كذلك ، وأقرب حاشيتيهما الستّة والأربعة وأبعدهما التسعة والواحد . وكل عدد هو واسطة فهو نصفهما وإن كانت المراتب زوجا حتى كان بدل الواسطة الواحدة واسطتان كانت الواسطتان مجموعتين مثل أي حاشيتين جمعتا ؛ مثل الأربعة والخمسة من الواحد إلى الثمانية ، فإنهما مجموعان متساويان للواحد والثمانية ، وللاثنين والسبعة ، والثلاثة والستة ، ويلزم في جميع هذا أن تكون كل حاشيتين عدد مساويتين للأخريين نظيرتيهما . ( شحس ، 21 ، 1 ) - من الخواص المتعلّقة بالجمع أن كل أعداد متتالية ليست تتالى الزيادات بالآحاد بل بالاثنوات والثلاثيات أو غير ذلك بعد أن يستمرّ على سنن واحد ، وليكن ابتداؤها من حيث كان . فإن مضروب عدد المراتب منقوصا منه واحد في العدد الذي يقع به التفاضل كالاثنوة والثلاثية أو غير ذلك مما تتفاضل به المراتب مزيدا عليه العدد