حصول الاطمئنان الكامل بنتائجها إلا أن الفروق بشكل لا يؤثر على نتائج هذا البحث . ويجب الانتباه هنا أي بصدد تجميع المعلومات أن تكون النقاط موزعة بانتظام على جميع المدى المطلوب وهنا المدى هو معرفة طول الفجر لكل أيام السنة كما ينبغي ان تضّم : نقاط الانقلاب - ان وجدت - من التزايد إلى التناقص وبالعكس وتعرف هذه النقاط من البيانات مباشرة ان أمكن أو بالاستفادة من المشتقة الأولى والثانية وهنا ينفع إيجاد متعدد الحدود للعلاقة ثم نجد مشتقته الأولى والمشتقة الثانية ، والبحث في المشتقات ممتع ومفيد في الحياة العملية كثيراً إلا أن عرضه مع ما يحتاج من مقدمات يتطلب بياناً يفوق المستوى الذي قررناه لهذا الكتاب ولكن ملخص ما تحتاجه هنا ان المشتقة الثانية إذا ساوت صفراً فان النقطة نقطة انقلاب من التزايد إلى التناقص أو بالعكس ولمعرفة ذلك بالضبط نختبر نقطتين على المشتقة الأولى أحدهما إلى يمين نقطة الانقلاب ( اي لها س أكبر منها ) وأخرى على يسارها ( أي ان س أقل منها ) فإن كان اليسار سالباً واليمين موجباً فالانقلاب من التناقص إلى التزايد والشكل مقعر وان كان اليسار موجباً واليمين سالباً فالانقلاب من التزايد إلى التناقص وشكل العلاقة محدّب ، والإشارة السالبة في المشتقة الأولى تعني التناقص وان اتجاه المنحني هكذا كما أن الإشارة الموجبة فيها تعني التزايد في شكل العلاقة واتجاه المنحني هكذا . والجدول الآتي يبيّن المعلومات والبيانات المطلوبة ل - ( 16 ) نقطة مختارة على مدى أيام السنة وفق الشروط التي ذكرناها . فالحقل الأول يمثل تاريخ اليوم على مدار السنة والثاني يمثل موعد طلوع الفجر والثالث يمثل موعد شروق الشمس والرابع يمثل طول الفجر ويمثل ناتج طرح الحقل الثاني من الثالث والحقل الخامس يمثل موعد غروب الشمس أي سقوط القرص باعتباره