- دراسات التغيّرات . . . توجد في " المجسطي " لبطلميوس ، صيغة الاستكمال التالية : إذا كان يكون ( تناقصيّة الدالّة f التالية : على ) . وهذه الصيغة حثَّت خلفاء بطلميوس على أعمالٍ مبتكرة . فقد استعاد السِزجي ( نهاية القرن العاشر للميلاد ) هذه الصيغة ، في رسالةٍ عنوانها " في تسهيل السبل لاستخراج الأشكال الهندسية " ، وقدّم لها أربعة براهين . كان هدفه في هذا المؤلّف إظهار الصعوبات الموجودة على طريق التحليل ، وتبيان تنوّع السبل الممكنة للوصول إلى الهدف . وبرهن ابن الهيثم ( توفي بعد العام 1040 م ) ، في مؤلّفٍ عنوانه " في خطوط الساعات " « 1 » ، ما يلي : إذا كان يكون ( تناقصيّة الدالّة f التالية : على ) ؛ واستخدم في هذا البرهان مبرهنة مينِلاوس في المستوي ، إضافة إلى صيغة بطلميوس ، واستنتج من ذلك ما يلي : إذا كان يكون ( تناقصيّة الدالّة g التالية : على ) . واستعاد ابن الهيثم هذه القضيّة في رسالته " مقالة في هيئة حركات كلّ واحد من كواكب السبعة " وأعطى لها لازمة تتكافأ مع برهان تناقصيّة الدالّة h التالية : على . وقدّم في هذا المؤلّف نفسه ، تعميماً لكلّ من القضايا III 9 وَ III 10 من " أُكَر " ثيودوس الطرابلسي « 2 » ، ودرس متغيّرات الإنحناء والصعود المستقيم ؛ وبرهن ، مستخدماً ببراعة مدّاً بالاتّصال ، أنّ أحدى هاتين الدالّتين ( الإنحناء والصعود المستقيم ) دالّةٌ محدّبة لخطوط الطول والأخرى دالّة مقعّرة « 3 »

--> ( 1 ) - راجع ر . راشد : R . Rashed , Les mathematiques infinitesimales du ixe au xie siecle , vol . V , Ibn al - Haytham , astronomie , geometrie spherique et trigonometrie , al - Furq و n , Londres , 2006 . ( 2 ) - راجع : Les spheriques de Theodose de Tripoli , trad . P . Ver Eecke , reed . Blanchard , Paris , 1959 . ( 3 ) - ر . راشد : R . Rashed , « The celestial kinematics of Ibn al - Haytham » Arabic sciences and Philosophy , vol . 17 , n 1 .