فيه أن يبرهن مبرهنة ابن قرّة بطريقة جبريّة . وقد قاده هذا المشروع إلى تصوّر الدالّات الحسابيّة الأولى ، وإلى أن تحضير كلّ مستلزمات " المبرهنة الأساسيّة لعلم الحساب " التي أعلنها للمرّة الأولى في التاريخ . وطوّر الفارسي الوسائل التوافيقيّة الضروريّة لهذه الدراسة ، وقام ببحثٍ في الأعداد الشكليّة . هذا يعني باختصار ، أنّه خاض في صُلب النظريّة الأساسيّة للأعداد ، على الشكل الذي نجدها عليه فيما بعد ، في القرن الحادي عشر ه - / السابع عشر للميلاد . وقد تطرّق الفارسي إلى تحليل العدد الصحيح إلى عوامل ، وإلى حساب قواسمه الفعليّة تبعاً لعدد عوامله الأوّليّة . والنتيجة الأهم على هذا الصعيد ، هي دون أدنى شك ، التطابق بين التوافيق والأعداد الشكليّة . هكذا ، أصبح كل شيىء جاهزاً لدراسة الدالّات الحسابيّة . فتناولت زمرة أولى من قضاياه ، الدالّة . ورغم أنّ الفارسي لم يعالج في الواقع سوى ، فإنّنا نستنتج معرفته ل - على أنّها دالّة ضريبيّة . من بين قضايا هذه الزمرة ، نجد خاصّةً التالية : . . . ( 1 ) إذا كان ، و ، يكون ، وهذا يدل على أنّه كان على علم بالعبارة : ( 2 ) إذا كان ، وكان عدداً أوّليّاً و * « 1 » ، يكون . ( 3 ) إذا كان ، حيث عدد أوّلي ، يكون . وهذه القضايا الثلاث بقيت حتى الآن ، تُنسَب إلى ديكارت . ( 4 ) أخيراً حاول ، دون أن ينجح ، ( ونستطيع أن نفهم سبب ذلك بسهولة ) ، إقامة صيغة فعليّة في الحالة حيث . وتضم الزمرة الثانية عدّة قضايا تدور حول ، الذي نرمز به إلى عدد قواسم n . ( 5 ) إذا كان ، حيث ، . . . ، عوامل أوّليّة متمايزة ، يكون عدد أجزاء n أي مساوياً ل - ، وهي قضيّة منسوبة للأب ديدييه ( Deidier ) . ( 6 ) إذا كان ، حيث ، ، . . . ، عوامل أوّليّة متمايزة ، يكون و ؛ وهي قضيّة منسوبة لِجون كيرسي ( John Keresy ) ولِمونمورت ( Montmort ) .

--> ( 1 ) * أي أنّ العددين p 1 و p 2 غير متشاركين ( ليس لديهما قاسم مشترك غير الواحد ) ( المترجِم ) .