شارح فاضل در شرح هدايه گفته است كه در كلام صاحب محاكم نظرى هست ، زيرا قياس كلّ مجموعى بر كلّ افرادى صحيح نيست ، پس از آنكه نسبت هر زيادتى بعدى به زيادتى بعدى ديگر مثل نسبت عدد زيادات موجوده در آن بعد به عدد زيادات موجوده در بعد ديگر باشد ، لازم نمىآيد كه بعدى متحقّق باشد كه نسبت زيادتى آن به زيادتى بعدى ديگر مثل نسبت عدد زيادات غير متناهيه به عدد زيادات متناهيه باشد ، زيرا كه مىتواند بود كه به ازاء مجموع زيادات بعدى نباشد اگر چه به ازاء هر عدد زيادهء بعدى باشد . و اگر كسى گويد كه بودن مجموع اعداد زيادات در بعدى معلّل به آن نيست كه هر عدد زياده در بعدى است تا منع بر آن وارد آيد ، بلكه معلّل است به آنكه نسبت آن بعد به بعدى ديگر مثل نسبت اين عدد است به عدد زيادتى كه در آن يافت شده است ، و بر مجموع عدد زيادات غير متناهيه صادق است كه عدد زيادتى است ، پس بايد كه در بعدى بوده باشد كه نسبت آن به بعد متناهى مثل نسبت عدد غير متناهى به عدد متناهى بوده باشد . مىگوييم كه اگر مراد از آنكه هر عدد زيادتى در بعدى موجود است آن است كه هر عدد غير متناهى چنين است مسلّم است ، لكن از آن لازم نمىآيد كه عدد غير متناهى از زيادات در بعدى موجود باشد ؛ و اگر [ 212 ] مراد مطلق عدد است خواه متناهى و خواه غير متناهى مسلّم نيست ، و چگونه مىتواند شد كه كسى كه قضيّهء شخصيّه را منع مىكند قضيّهء كليّه را مسلّم بدارد . و اگر اين مقدّمه ثابت شود در اثبات اين مطلب كافى خواهد بود . و بعضى گفته‌اند كه اولى در تقرير به برهان مذكور آن است كه اوّلا دو ساق مثلّث را تا به غير نهايه فرض نماييم و در انفراج ميان آن دو ساق ابعاد غير متناهيهء متزايد زايد بر بعد اصل فرض كنيم ، پس در اين صورت زيادات بر بعد اصل غير متناهيهء متساويه موجود خواهد بود و ابعاد غير متناهيهء متفاضله به قدر واحد نيز موجود خواهد بود ، پس هر زيادتى و هر مجموع زياداتى واقع در بعدى از آن ابعاد خواهد بود ، و الّا لازم مىآيد كه بعدى موجود باشد كه مشتمل باشد بر جملهء زيادات واقعه در تحت آن ، و بر آن و بر مزيد بر آن بعدى مشتمل نباشد كه در فوق آن باشد ، پس آن آخر ابعاد خواهد بود ، و اين خلف است . پس هر زيادتى و هر مجموع زياداتى كه هست در بعدى كه فوق آن است موجود است ، پس مجموع زيادات غير متناهيه در بعد فوق آنها موجود خواهد بود ، پس غير متناهى محصور