در دو اعتدال و دو انقلاب سنجيده و بعللى علماى تازه يافت شده و متجدد از اين كار تقليد كردند » ترجمه از كتاب افراد المغال فى امر الاظلال به قلم بيرونى كه ما آن را براى اختصار كتاب سايه‌ها گفته‌ايم . پس پاى قطر ظل و جيب تمام بميان آمد و از بركت طرح اين مسئله به اين خطوط كه اجزاء مثلثات هستند دست يافتيم . بيرونى را عادت بر اين بوده كه بسيار مشكل چيزى مىنوشت و شاگردى از اين روش به استاد گله كرد كه نوشته‌هاى شما جانفرسا و دماغ‌سوز است او گفت من ميخواهم فكر خواننده را به كار بياندازم و اگر جز جمعى قليل نفهمند كه من چه نوشته‌ام براى من اهميتى ندارد و روى همين عادت قسمتى از اين شكل را به ذهن خواننده حواله كرده است كه مطلب را دريابد چه ، اگر شاخص را بر مركز دايره قرار دهيم سايهء آن از پاى شاخص روى قطر دايره به طرف غرب يا شرق برحسب بودن آفتاب در شرق يا غرب ميافتد ولى نه بدينصورت كه در شكل است پس آمدند و آن اندازه از سايهء را طورى تصوير كردند كه قطر ظل را قطع كند بدين طريق دو ضلع از يك مثلث پيدا شد و ضلع قائم آن مثلث اين اندازه از شاخص است كه اين سايه را احداث كرده است . پس استعمال قطر ظل و ديگر خطوط مثلثاتى از ابو الوفا نيست و بيرونى در فصل نهم از كتاب سايه‌ها پس از توضيح شكل ميگويد كه منجمان بطرق گوناگون به مقصد رسيدند و راههاى مختلفى رفتند و ابو الوفا را به ترتيب آخر همه ذكر كرده پس پيش از او علماى نام برده قطر ظل و نسبت‌هاى مثلثاتى را مىدانستند و علماى تاريخ رياضى به غفلت اين ابداعات را به حساب ابو الوفا گذاشتند .