- الأولى : إحدى الزاويتين الداخليتين الواقعتين على جهة واحدة من القاطع قائمة والأخرى حادّة ( كما في نصّ المصادرة الخامسة ) الشكل ( 2 ) . وفي هذا الشكل أب ، ن م مستقيمان يقطعهما ن ب ومجموع الزاويتين أب ن ، ج ب ن أقلّ من قائمتين ، وافرض الزاوية م ن ب قائمة إذا التقى ب أ ، ن م فإنّ - أب ن حادّة برسم ب ج لتكون - ج ب ن تطابق - أب ن ، لذلك ن م عمود منصف للزاوية أب ج ، ويجب أن يلاقي ضلعيها ، أي أنّ م ن يلاقي ب أ ، وهو المطلوب . الشكل ( 2 ) - الثانية : إذا كلّ من - أب ص ، - س ص ب حادّة ، فإنّ المستقيم س ص ، ب أيتقاطعان . أرسم ب ج لتصير - ج ب ص مطابقة مع - أب ص ، نمدّ ب ص إلى ن ونرسم ن م عمودا على ب ن منصف - أب ج ، فإنّ ن م يقطع ب أفي ع ، لذلك في ط ع ب ن يكون س ص قاطعا للضّلع ب ن فيجب أن يقطع أحد الضلعين الآخرين ، ولأنّ - ب ص س حادّة فإنّ س ص لا يقطع ن م ، لذلك فهو يقطع ب أ . وهو المطلوب . الشكل ( 3 ) . - الثالثة : إذا إحدى الزاويتين منفرجة والأخرى حادّة ومجموعها أقلّ من قائمتين . افرض مستقيمين أب ، ج ه ، وأنّ س ص قاطع لهما ( الشكل 4 ) . وافرض - س ص ج منفرجة ، - أس ص حادّة . المطلوب إثبات أنّ أب ، ج ه يلتقيان . ارسم م ن منتصف س ص عمودا ن ل على ج ه . عندها - ل ن ص حادّة . لذلك - س ن م حادّة . من الحالة الثانية س أ ، ن م مستقيمان قطعهما س ن وصنع معهما زاويتين حادّتين . لذلك يلتقيان . أي أنّ س أيلاقي م ن في ق . الآن - س ق ن ليست قائمة . ولا تطابق المثلّثان س ق ن ، ص ل ن ونتج من ذلك - ق س ن تطابق - ل ص ن . عندها يصير المجموع - ق س ن + - س ص ج - - ن ص ل + - س ص ج أي قائمتين مخالفا للفرض . كذلك - س ق ن لست حادّة لأنّ في الحالة الأولى يتلاقى عندها المستقيمان أب ، ج ه في جهة س ، ه وينتج مثلّث مجموع