بر روى ربع دايره‌اى نقطهء G را چنان بيابيد كه داشته باشيم CD / CH - CH / HB اين مسئله از راه تحليل به ترسيم مثلث قائم‌الزاويهء ASC منجر مىشود به‌طورى كه BD ) AB G BD - AC ارتفاع وارد از رأس بر ضلع است ) . با فرض AD - 10 و BD - x ، ترسيم اين مثلث معادل مىشود با حل معادلهء x 3 G 200 x - 20 x 2 G 2000 كه معادله‌اى است از درجهء سوم . خيام در رسالهء فى قسمة ربع الدائرة به تاريخچهء مسائل هندسىاى كه حل آنها به معادلات درجهء سوم مىانجامد ، مىپردازد . از ميان مسائلى كه خيام ذكر مىكند يكى مسئلهء ارشميدس است ، يعنى تقسيم كره‌اى به دو قسمت ، به‌طورى كه حجم قسمت بزرگ‌تر n برابر حجم قسمت كوچك‌تر باشد . ارشميدس در كتاب كره و استوانه خود اين مسئله را ، از راه تحليل ، به مسئلهء زير تبديل مىكند : دو خط AB و BC به اندازهء معلوم و بر يك استقامت داده شده‌اند . نسبت BC بر CE معلوم است . بنابراين CE ، چنان كه در معطيات [ اقليدس ] ثابت شده ، معلوم است . نقطهء D را طورى به دست مىآوريم كه نسبت CD بر CE مساوى با نسبت AB 2 بر AD باشد . خيام پس از آنكه نخستين طبقه‌بندى خود از معادلات درجهء سوم را عرضه مىكند ، مىگويد كه « رياضيدانان متقدم كه به زبان ما نمىنوشته‌اند » ( يعنى رياضيدانان يونانى ) به هيچ‌يك از اين معادلات پى نبرده‌اند و يا اگر در اين‌باره چيزى نوشته بوده‌اند به دست ما نرسيده است . امّا در ميان « همزبانان ما » ( يعنى رياضيدانان دورهء اسلامى كه به عربى مىنوشته‌اند ) « ماهانى مهندس » ، نخستين كسى است كه در كوشش براى حل مسئلهء ارشميدس به يكى از اين نوع معادلات رسيده بوده است . به گفتهء خيام ماهانى مسئلهء ارشميدس را به معادله‌اى به‌صورت x 3 - ax 2 G b تبديل كرد و چون از حل اين معادله عاجز ماند به ممتنع