19 . چشمه‌هاى متناوب خاصيت و كشف علّت چشمه‌هاى متناوب را كه ما چشمهء وقت و ساعت مىگوييم ابو ريحان دريافته و بيان كرده است . « 1 » 20 . اشكال هندسى گل‌ها و شكوفه‌ها از جمله اكتشافات و تحقيقات تازهء ابو ريحان استنباط اين نكته است كه در شكوفه‌ها و گل‌ها دقايق هندسى به‌كاررفته ؛ و سبب اينكه شكوفه‌ها و گل‌ها هرگز هفت برگ يا نه برگ نمىشود يعنى شكل مسبّع و متسّع ندارد بلكه مثلث و مربع و مخمس و مسدس و غيره مىباشد آن است كه ترسيم شكل هفت ضلعى و نه ضلعى متساوى الاضلاع در دايره ممتنع و محال است . « 2 » نگارنده گويد از همين جهت است كه بر مسمط بهاريهء حكيم خاقانى خرده مىگرفتند كه با وجود اينكه خود او مخصوصا در علوم رياضى دست داشت چرا شكل مسبع را از اشكال گل كه شامل شكوفه نيز مىشود گفته است : باغ چو از ايزدى جامه مخلّع شود * ظاهر از انواع گل شكل مضلّع شود

--> ( 1 ) . آثار الباقية ، ص 264 . ( 2 ) . آثار الباقية ، ص 298 . توضيحا در « مقاليد علم الهيئة » نيز اشاره مىكند كه علماى رياضى درصدد يافتن حل اين مشكل يعنى ترسيم شكل هفت ضلعى و نه ضلعى در دايره بوده و به جايى نرسيده‌اند . در قانون مسعودى مقالت سوم [ ج 1 ، ص 272 - ] 273 هم مىگويد كه تا زمان ما وتر سبع و تسع يعنى يك‌هفتم و يك‌نهم دايره استخراج نشده است امّا خود ابو ريحان در استخراج وتر تسع حيله‌اى رياضى انديشيده و تمحلى به كار برده تا نتيجهء تقريبى آن را بدست آورده است [ قانون مسعودى ، ص ] 286 .