لسطحي الأفق ومدار : ز م ط ، وليكن : ب ط ، من فلك نصف النهار وننزل عمود : ط ك ، على الأفق فيكون جيب ارتفاع نصف النهار وك ه ، جيب تمامه و : ه ح ، جيب : ا ز ، سعة المشرق ونصل : ط ح ، وهو الذي يسمى سهم النهار ومثلث : ط ك ح ، مثلث النهار لأنه لا يتغير عن وضعه ومقادير طول اليوم ، وليكن الشمس أو الكوكب على : م ، وننزل م س ، عمودا على الأفق فيكون جيب الارتفاع في الوقت ونخرج : س ع ، على موازاة : ك ح ، ونسميه الضلع ونصل : م ع ، فيحصل م س ع ، مثلث الوقت ويتشابه المثلثان ، فأما : ك ح ، فإنه يحصل من جمع : ه ك ، الجنوبي إلى : ه ح ، الشمالي كما في الصورة الثالثة والرابعة والخامسة سعة المشرق شمالية وارتفاع نصف النهار جنوبي ومن أخذ الفضل بينهما كما في الأولى التي هما فيها جنوبيان ، وكذلك في الثانية التي فيها : ه ح ، معدوم أو الفضل هو : ك ه ، نفسه فإن لم يكن ارتفاع نصف النهار من جهة الجنوب كما في الزيادات التي في الصورة الثالثة إذا وقع عمود : ط ك ، إما على مركزه وإما فيما بينه وبين : ح ، كان حصول ك ح ، بأخذ الفضل لزوال الاختلاف فيهما عن سمتي الجهتين أيضا ونسبة : ك ط ، إلى : ك ح ، كنسبة : م س ، إلى : س ع ، الضلع وهو معلوم والمقصود منه : س ف ، حصة السمت وهو في الأول مجموع : س ع ، ع ف ، المساوي ل : ح ه ، وكذلك في الثانية التي ليست : سعة المشرق فيها شمالية ثم هو في الصور الباقية فضل ما بين : س ع ، و : ع ف ، فلأن السمت هو بعد موقع دائرة الارتفاع في الأفق عن خط الاعتدال إذ المواجهة لا تكون إلا في سطح هذه الدائرة فإنا إذا أخرجنا من ه ، على : س ، خط : ح ص ، كان الفضل المشترك بين سطحها وبين سطح الأفق ونقطة : ص ، تقاطعهما ف : ا ص ، يكون بعد السمت عن : أ ، مشرق الاعتدال وفي مثلث : ه س ف ، نسبة : ه س ، جيب تمام ارتفاع نقطة : م ، إلى : س ف ، حصة السمت كنسبة جيب زاوية : ف ، القديمة وهو الجيب كله إلى جيب زاوية : س ه ف ، التي بمقدار قوس : ا ص . فأمّا وقوع نقطة : ص ، من الربعين فيحسب ما بين : س ع ، ح ه ، فإن : س ع ، إذا فضل على : ح ه ، كما في الأولى والثانية والثالثة كان : ص ، في ربع : ا ب ، الجنوبي ، وإذا قصر عنه كما في الخامسة كان : ص ، في ربع : ا د ، الشمالي ، وإذا تساويا وقع : ص على نفس نقطة : أ ، وبطل السمت .