مربع ا د : إلى مربع : ا ب ، هي نسبة : ا د ، إلى : ا ب ، مثناة بالتكرير ، فمربع : ز ح ، ربع مربع : ا ب ، لكن قوس : ز ج ، سدس الدور و : ج ح ، مساو ل : ح ه ، فضرب : ا ج ، الذي هو أربعة أمثال : ج ح ، في : ا ح ، الذي هو ثلاثة أمثال : ج ح ، تكون أربعة أضعاف ضرب : ا ح ، في : ج ح ، فهو إذن أربعة أضعاف مربع : ز ح ، وذلك مربع : ا ب ، بتمامه . وليكن : ط ، منتصف : ا ب ج ، فيكون : ا ط ، وتر الربع وهو يقوى على : ا ه ، ه ط ، المتساويين ، فقوة : ا ط ، إذن ضعف قوة : ا ه ، وذلك كما استعملناه لأن ضعف مربع : ا ه ، مساو لنصف مربع : ا ج . ولوتر الخمس والعشر فليكن كل واحدة من زاويتي : ه ا ب ، ه ب ا : ضعف زاوية : ا ه ب ، وندير على مركز : ه ، ويعد ساق المثلث دائرة : ا ب ج ، وننصف زاوية : ه ا ب ، بخط : ا د ، فلتساوي زاويتي : ا ه ب ، ب ا د ، تتساوى زاويتا : ا د ب ، ا ب د ، وتساوي : ا ب ، ا د ، ولتساوي زاويتي : ه ا د ، ا ه د ، تتساوى : ا د ، د ه ، ولتشابه مثلثي : ا ه ب ، ب ا د ، تكون نسبة : ه ب ، إلى : ه د ، المساوي ل : ا ب ، كنسبة : ه د ، أعني : ا ب ، إلى : ب د ، فضرب : ه ب ، في : ب د ، مساو لمربع : ه د ، أعني ضرب : ا ب ، في : ه د ، فخط : ه ب ، إذن منقسم على نسبة ذات وسط وطرفين وقسميها الأطول : ه د . وأيضا فإنا إذا ركّبنا كانت نسبة : ه ب ، ه د ، إلى : ه ب ، كنسبة : ه د ، د ب ، إلى : ه د ، فضرب : ه ب ، مع : ه د ، أعني : ا ب ، في : ه د ، مساو لضرب : ه ب ، في مجموع : ه د ، د ب ، فمجموع خطي : ه ب ، ب ا ، أيضا منقسم على نسبة ذات وسط وطرفين ، وقسمة الأطول : ه ب ، لكن زاوية : ا ه ب ، خمس قائمتين فهي عشر أربع زوايا قائمة ، فقوس : ا ب ، عشر الدور و : ا ب ، وتره ، و : ه ب ، وتر السدس ، فإذا اتصلا على استقامة كان مجموعهما منقسما على نسبة ذات وسط وطرفين وقسمة الأطول وتر السدس ، وعلى ما تبين في المقالة الثانية عشر من كتاب الأصول إذا جمعنا مربع القسم الأطول منه إلى مربع نصفه اجتمع مربع مجموع القسم الأقصر مع نصف الأطول . ثم لتقرر قوس : ا ج ، مساوية ل : ا ب ، ونصل : ب ج ، فيكون وتر الخمس ، ولأن زاوية : د ه ك ، على عشر الدور وزاوية : ه ب ج ، عند المحيط على خمسه وعشره معا ، فهي عند المركز على ثلاثة أرباع خمس الدور ، فزاوية : ه ب ك ، أعظم من زاوية : ب ه ك ، ولنفصل