معرفة وتر الثمن إذا أردنا وتر الثمن ضربنا نصف القطر في فضل ما بينه وبين ضعف وتر الربع ، وألفينا المجتمع من مضروب نصف القطر في مثله وأخذنا جذر الباقي فيكون وتر الثمن . معرفة وتر التّسع حال وتر التسع كحال وتر السبع في خفاء الطريق إلى معرفته ، فأما في الاستغناء عنه فلا لأن الحاجة إليه أمسّ ما تكون ، وسيأتي للتأتّي له بالحيل ذكر فيما بعد . معرفة وتر العشر أما وتر العشر فهو المحفوظ في عمل وتر الخمس ، فهذه طريق استخراج أمّهات الأوتار ، والبرهان عليها نقدم أمامها . مقدمة لأرشميدس مبرهنة بغير برهانه فليكن قوس : ا ج د ، معطاة وقد انحنى تحتها خط : ا ج د ، المستقيم وننزل من : ب ، منتصف القوس عمود : ب ه ، على أعظم قسمي الخطّ المنحني . فأقول إنه قسمه بنصفين على : ه ، أعني أن : ا ه ، مساو لمجموع : ه ج ، ج د . برهانه : أنا ننزل عمود : ب ح ، على : د ج ، المخرج على استقامته ونصل : ا ب ، ب ج ، ب د ، فلأن زاوية : ب ج د ، بمقدار قوس ب ا د ، تكون زاوية : ب ج ح ، كمال القائمتين بمقدار قوس ب ج د ، فزاويتا : ب ج ا ، ب ج ح ، متساويتان لأنهما بقدر قوسين متساويتين فمثلثا : ب ه ج ، ب ح ج القائما الزاوية متشابهان و : ب ج ، مشترك لهما ، فهما إذن متساويان لكن خطي : ب ا ، ب د ، متساويان وزاويتي : ب ا ه ، ح د ب متساويتان ، فمثلث : ا ب ه ، مساو لمثلث : د ب ح ، ومشابه له ، فاه مساو : لدح ، لكن : ج ح ، مساو : لج ه ، و : ه ج ، ج د ، معا يساويان : ا ه ، فنقطة : ه ، إذن منتصف الخطّ المنحني وذلك ما أردناه . وأقول إن هذه القوس في أوتار أقسامها