واحد ، ثلاثة ، خمسة ، سبعة ، تسعة ، أحد عشر ، وما زاد على ذلك فإن التفاوت بين كل عددين منها اثنان اثنان . وعلى هذا القياس تبنى سائر النّسب العددية ، وإنما يعتبر مساواة تفاوت ما بينهما . ومن خاصيّة هذه النّسبة أن كلّ عددين ، أيّ عددين كانا ، إذا أخذ نصف كلّ واحد منهما ، وجمع يكون منهما عدد آخر متوسط بين العددين ؛ مثال ذلك : ثلاثة وأربعة تفاوت ما بينهما واحد ، فإن أخذ نصف الثلاثة وهو واحد ، ونصف الأربعة وهو اثنان ، وجمع بينهما يكون ثلاثة ونصفا ، وثلاثة ونصف أكثر من ثلاثة بنصف ، وينقص عن الأربعة بنصف ، وعلى هذا القياس يعتبر سائر النّسب العددية . وأما النسبة الهندسيّة فهي قدر أحد العددين المختلفين عند العدد الآخر ، مثال ذلك : أربعة ، ستة ، تسعة ، فإنما هي في نسبة هندسيّة ، وذلك أن نسبة الأربعة إلى الستة كنسبة الستة إلى التسعة ، وذلك أن الأربعة ثلثا الستة ، والستة ثلثا التسعة ، وكذلك بالعكس ، فإن نسبة التسعة إلى الستّة كنسبة السّتة إلى الأربعة ، وذلك أن التسعة مثل الستة ومثل نصفها ، والستة مثل الأربعة ومثل نصفها ، وهكذا : ثمانية واثنا عشر ، وثمانية عشر وسبعة وعشرون ، فإنها كلّها في نسبة هندسية ، وذلك ان الثمانية ثلثا الاثني عشر ، والاثني عشر ثلثا الثمانية عشر ، والثمانية عشر ثلثا السبعة والعشرين ، وكذلك بالعكس سبعة وعشرون مثل ثمانية عشر ومثل نصفها ، وثمانية عشر مثل اثني عشر ومثل نصفها ، والاثنا عشر مثل الثمانية ومثل نصفها ، وعلى هذا المثال يعتبر سائر النّسب الهندسية . وهي تنقسم نوعين متصلة ومنفصلة ، فالمتصلة مثل هذه التي قدّمنا ذكرها ، ومن خاصيّة هذه النسبة ، إذا كانت ثلاثة أعداد ، فإن ضرب الأول في الثالث مثل ضرب الثاني في نفسه ، مثال ذلك أن ضرب الأربعة في التسعة مثل ضرب الستة في نفسها ، وإن كانت أربعة أعداد ، فإن ضرب